怎么证明周长相等的三角形，等边三角形面积最大？

2025-12-18 02:51:41

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回答1：

海伦公式:三角形三边为a,b,c.
其面积S=根号(p*(p-a)*(p-b)*(p-c))
其中p=(a+b+c)/2。
因为周长相等，所以p为定值
根号内只能取正数
根据不等式
(p-a)*(p-b)*(p-c)<={[(p-a)+(p-b)+(p-c)]/3}的立方
当(p-a)=(p-b)=(p-c)时，取等号
S=根号(p*(p-a)*(p-b)*(p-c)),取最大值
当a=b=c时,
(p-a)=(p-b)=(p-c)
所以为等边三角形

回答2：

这个要用到椭圆的知识来分析.
椭圆的两个焦点A,B之间为底,焦点到椭圆上一点C的两个线段的长度和为定值,显然当AC=BC时三角形为等腰三角形时高最大,面积也最大.
同样固定AC时,有AB=BC时面积最大,固定BC时,有AB=AC时面积最大.
所以ABC是等边三角形时面积最大

回答3：

证明：
三角形三边分别为a,b,c
设c为底边
当a=b=c时h=c/2
所以S=1/2*h*c=(c*h)/2
当a,b,c不相等时h所以S'(c*h)/2
当底边一定时
等边三角形的高最大
所以
周长一定时等边三角形面积最大